Chương 187: Số học và Hình học
Năm 1940, nhà toán học người Pháp, André Weil, một trong những học giả đầu tiên của trường phái Bourbaki sau này, trong khi ở trong tù, đã viết một bức thư cho em gái mình - nhà triết học nổi tiếng Simone Weil. Trong bức thư này, ông đã giải thích chi tiết về sự hiểu biết của mình về "xu hướng lớn" của toán học bằng một ngôn ngữ rất đơn giản mà ngay cả các nhà triết học cũng có thể hiểu được. Trong thư, Weil đã nói về vai trò của phép loại suy trong toán học, và làm sáng tỏ vấn đề này bằng phép loại suy mà ông quan tâm nhất - phép loại suy giữa lý thuyết số và hình học.
Trên thực tế, sự tương đồng giữa lý thuyết số và hình học đã đóng một vai trò rất quan trọng trong quá trình phát triển của Chương trình Langlands.
Điểm mấu chốt của Chương trình Langlands là khái niệm đối xứng quen thuộc với các nhà toán học - tức là một khái niệm có thể được xử lý bằng "lý thuyết nhóm". Trọng tâm của Chương trình Langlands cũng là các biểu diễn của nhóm. Nghiên cứu liên quan đã phát hiện ra rằng các biểu diễn của các nhóm Galois này có thể tạo thành "mã nguồn" của các trường số, mang thông tin quan trọng về các khía cạnh số.
Bản thân Langlands đã so sánh quá trình này như sau. Giao hưởng được tạo thành từ sự chồng chéo của các sóng hài tương ứng với âm thanh do các nhạc cụ khác nhau tạo ra, và âm thanh thông thường cũng tương tự, cũng được tạo thành từ sự chồng chéo của các sóng hài. Về mặt toán học, các hàm đã biết có thể được biểu diễn bằng các hàm mô tả sóng hài - chẳng hạn như các hàm lượng giác quen thuộc như sin và cosin. Các hàm automorphic có thể được coi là các phiên bản nâng cao của các sóng hài quen thuộc hơn này, và có thể sử dụng nhiều phương pháp phân tích khác nhau khi tính toán với các hàm automorphic. Langlands đã đưa ra một quan điểm đáng kinh ngạc: chúng ta có thể sử dụng các hàm automorphic để nghiên cứu các vấn đề lý thuyết số khó hơn nhiều.
Bằng cách này, ông phát hiện ra rằng các con số đã viết nên một "hòa âm" không được biết đến.
Một trong những vai trò chính của toán học là sắp xếp và phân loại thông tin, theo cách nói của Langlands, tức là "tìm ra manh mối từ những manh mối có vẻ hỗn loạn". Ý tưởng của Langlands có ý nghĩa phi thường chính là vì nó có thể sắp xếp các dữ liệu có vẻ hỗn loạn trong lý thuyết số, tạo thành một quy luật nhất định, thể hiện tính đối xứng và thống nhất.
Phá vỡ rào cản giữa "lý thuyết số" và "lý thuyết nhóm" đưa "miếng ghép cuối cùng" này vào bản đồ ban đầu được quy hoạch bởi trường phái Bourbaki.
Những khái niệm trừu tượng cao độ này lại hài hòa thống nhất, hòa quyện vào nhau, quả thực khiến người ta kinh ngạc và khó tin. Sự hài hòa thống nhất này tiết lộ nội hàm phong phú và bí ẩn đằng sau các khái niệm trừu tượng, như thể vén lên một lớp màn che trước mặt con người, sự tồn tại bí ẩn vẫn luôn không được biết đến đã lộ ra chân tướng.
Từ đó, tất cả các toán học đã biết có thể được đưa vào một hệ thống lớn.
Và trong bức thư nổi tiếng đó, một trong những người sáng lập trường phái Bourbaki, André Weil đã mô tả tư duy này như sau.
"... Mục đích nghiên cứu của tôi là giải mã một văn bản được viết bằng ba ngôn ngữ. Trong ba lĩnh vực này, tôi chỉ có một số kiến thức rời rạc. Tôi có một số hiểu biết về ba ngôn ngữ này, nhưng tôi cũng biết rằng có những khác biệt lớn về nội hàm giữa ba quỹ đạo này, và tôi chưa nắm vững đầy đủ những khác biệt này cho đến nay. Sau vài năm nghiên cứu, tôi chỉ tích lũy được một số mảnh kiến thức, điều này không đủ để biên soạn một từ điển dịch thuật hoàn chỉnh."
Cũng chính vì vậy, các nhà toán học hiện đại luôn so sánh Chương trình Langlands với - Phiến đá Rosetta.
Một phiến đá khắc cùng một văn bản bằng các ngôn ngữ khác nhau.
"Phiến đá Rosetta" là một cột mốc quan trọng trong ngôn ngữ học. Sự xuất hiện của nó đã khiến việc giải mã một số văn tự cổ trở nên khả thi. Nó cũng được gán cho ý nghĩa "làm cho một số hệ thống có ý nghĩa khác nhau có thể chuyển đổi lẫn nhau".
Ban đầu, Vương Kỳ khắc phiến đá hoàn toàn là muốn tạo ra một Phiến đá Rosetta, và khoe khoang một chút - bởi vì sự tồn tại của tu sĩ, sự giao lưu giữa các khu vực khác nhau của Thần Châu rất thường xuyên, căn bản không có nhiều khu vực "bế quan" căn bản không có điều kiện hình thành các ngôn ngữ khác nhau, "thư đồng văn" (chữ viết thống nhất) cũng đã hoàn thành từ rất sớm. Yêu tộc, Long tộc cũng vậy. Nếu không phải nhân tộc còn có phàm nhân, thì thứ gọi là "phương ngữ" cũng khó mà xuất hiện.
Nói cách khác, nơi này căn bản không thể xuất hiện thứ tương tự như "Phiến đá Rosetta". Vương Kỳ cuối cùng cũng chỉ có thể tự mình khắc một cái để khoe khoang.

Tuy nhiên, trong quá trình khắc, nội dung trên văn bia dần dần chuyển từ mộ chí minh như một trò đùa, thành một trò chơi tư duy.
Nếu đem một số khái niệm toán học, dùng những cách khác nhau do mình tự tạo ra để biểu hiện, rốt cuộc có thể đạt đến mức độ nào?
Đó chính là tư tưởng "đối xứng".
Trong các trò chơi chữ cổ, có một loại thơ văn gọi là "Toàn Cơ Đồ" được lưu truyền rộng rãi. Toàn Cơ Đồ nổi tiếng ở Thần Châu, tổng cộng tám trăm bốn mươi mốt chữ, dọc ngang mỗi chiều hai mươi chín chữ, dọc, ngang, chéo, xen kẽ, chính, ngược đọc hoặc bớt một chữ, lặp một chữ đều có thể thành thơ, thơ có ba, bốn, năm, sáu, bảy chữ không đều. Nếu nhìn từ góc độ hình học, độ phức tạp của "trò tiêu khiển" của Vương Kỳ thậm chí còn hơn thế - trên phiến đá của hắn, không chỉ tồn tại đối xứng và chuyển đổi giữa "khái niệm" và "khái niệm" mà ngay cả các ký hiệu riêng lẻ cũng biểu hiện chủ đề "đối xứng" bằng một quy tắc kỳ lạ.
"Khái niệm" đến từ lý thuyết số, "ký hiệu" lại được thiết kế dựa trên hình học.
Có một khoảng thời gian - khoảng thời gian Trung tâm nghiên cứu h·ạt n·hân Nam Minh vừa mới thành lập, Vương Kỳ đặc biệt say mê trò chơi dựa trên Chương trình Langlands này - các nhà toán học trên Trái Đất hiếm có cơ hội tiêu xài năng lực tính toán khổng lồ được tạo ra từ công nghiệp lớn như hắn ngày nay, và cuộc sống hữu hạn của họ cũng không cho phép họ lãng phí thời gian và tinh lực vào loại trò chơi không có nhiều ý nghĩa này.
Bản thân Vương Kỳ cũng không biết, loại trò chơi có vẻ nhàm chán và lãng phí trí não này, rốt cuộc đã tạo ra ảnh hưởng như thế nào đối với tư duy của hắn. Hắn từng có lúc cảm thấy mình chỉ đang dùng một cách kết hợp "trò chơi" và "nghệ thuật" tái hiện một số nội dung đã biết trên Trái Đất.
Có thể nhớ lại...
"Điều này có phần giống với cách làm của Liên Tông? Dùng hình tượng cụ thể để thay thế khái niệm?" Vương Kỳ suy đoán như vậy.
Bây giờ, quá trình Nguyên Thần hóa mơ hồ tiết lộ sự tiến bộ của hắn.
Chính hắn cũng không thể dự đoán được trình độ hiện tại của mình.
"Ừm... không chừng vài năm nữa ta có thể đưa ra được giả thuyết Taniyama-Shimura-Weil? Sau đó thử xung kích Định lý lớn Fermat." Vương Kỳ tự nói, rồi cười khổ.
Không đơn giản như vậy.
Bản thân Langlands đã mất tận ba mươi năm để đả thông mối liên hệ giữa lý thuyết số và lý thuyết nhóm, đây là trong tình huống có cả một thế hệ nhà toán học có thể làm trợ lực cho ông - sự nổi lên của Robert Langlands và sự rút lui của Alexandre Grothendieck xảy ra trong cùng một thời đại, chỉ cách nhau vài năm. Hai thế hệ thiên tài như có hẹn trước hoàn thành một loại "giao ban" nào đó. Giáo hoàng toán học đã giao lại giới toán học đã được mình cải tạo cho người tiếp theo có chí hướng thống nhất học thuật. Langlands trong một thời gian dài đảm nhiệm chức vị "võ lâm minh chủ" cho dù là trường phái Liên Xô cũng đang thảo luận về công việc của ông.
Nhưng cho dù là như vậy, ông vẫn mất ba mươi năm mới hoàn thành công việc của mình.
Cho dù Vương Kỳ biết phần lớn chi tiết công việc của đối phương, cũng không thể trong thời gian ngắn phục chế, càng không thể chỉ dùng vài năm đã hoàn thành chứng minh Định lý lớn Fermat từ con số không.
Huống chi, hắn Nguyên Thần sắp tới, "vài năm sau" đã không còn ý nghĩa.

Mặt khác...
Kiếp trước của Vương Kỳ dù sao cũng là một nhà vật lý. Nếu theo một cách nói nào đó, hắn cũng có thể coi là "tín đồ Bacon" - kiên định tin rằng "mọi thứ đều dựa trên sự thật tự nhiên được thấy bằng mắt".
Theo quan điểm của Bacon, các nhà khoa học cần phải đi khắp thế giới để thu thập sự thật, hoặc lặp đi lặp lại các thí nghiệm để tái tạo hiện tượng, cho đến khi những sự thật tích lũy được có thể tiết lộ cách thức vận hành của tự nhiên. Các nhà khoa học từ những sự thật này suy ra các quy luật mà tự nhiên tuân theo.
Mà theo quan niệm của một nhà vật lý... "Một trong những thiếu sót chính của Chương trình Bourbaki là bỏ lỡ yếu tố bất ngờ".
Lịch sử phát triển của toán học đầy rẫy những bước nhảy phi logic. Thứ tự phát minh của số mũ và logarit là một ví dụ điển hình - trình tự logic và trình tự xuất hiện thực tế hoàn toàn khác nhau. Mà trường phái Bourbaki lại cố gắng đưa mọi thứ vào một quá trình logic.
Điều này không có nghĩa là trường phái Bourbaki không tốt. Vương Kỳ với linh hồn của một nhà toán học, luôn đắm chìm trong nghiên cứu của mình. Nhưng khuynh hướng nội tâm lại khiến hắn cảm thấy - có lẽ ta có thể thử một con đường khác để phá vỡ Thiên Quan, thành tựu Nguyên Thần?
Còn gì nữa? Dựa trên "Mười sáu trạng thái" của thế giới này sao?
Cái gọi là "Tám trạng thái" là một lý thuyết ban đầu khi con người chỉ phát hiện ra ba loại quark. Trong mô hình này, khái niệm "thế hệ" vẫn chưa xuất hiện, quark lên và quark xuống được coi là hai loại quark hoàn toàn khác nhau - trên thực tế, chúng nên được coi là cùng một thế hệ quark. Mà trong mô hình đối xứng này, tổng số loại quark, lepton và neutrino là tám. Chúng được đưa vào một mô hình, được gọi là "Tám trạng thái"
Mà một năm sau, đã có người đưa ra phần mở rộng mới cho mô hình này, đề xuất khả năng tồn tại của loại quark thứ tư. Sau đó, nhiều quark ngoài mô hình này được tìm thấy.
Mà trong thời đại của Vương Kỳ, số lượng quark, lepton và neutrino nên như sau: ba thế hệ neutrino, ba thế hệ lepton, ba thế hệ quark, mỗi thế hệ quark có hai loại chính phản. Tức là sáu loại quark.
Trong trường hợp không tính "vị" của quark, mô hình mười hai trạng thái được thiết lập.
Mà trong vũ trụ này, nên là mười sáu trạng thái.
Neutrino, bốn thế hệ, bốn loại.
Lepton, bốn thế hệ, bốn loại.
Quark, bốn thế hệ, tám loại.

Tổng cộng mười sáu loại.
"Nếu không dùng não để áp đặt, thì có thể tạo ra một bộ thứ."
"Như vậy, thậm chí sẽ không chạm đến quá trình Nguyên Thần hóa... cũng có thể công bố luận văn, để người khác giúp ta hoàn thành công việc tiếp theo."
"Nhưng, hiện tại vẫn không thể loại trừ khả năng thế giới này tồn tại thế hệ quark thứ năm. Tức là... sử dụng lý thuyết này làm nền tảng cho Nguyên Thần pháp, vẫn có một chút nguy hiểm."
Chú thích thuật ngữ khoa học:
Trường phái Bourbaki (布尔巴基学派): Một nhóm các nhà toán học (chủ yếu là người Pháp) hoạt động từ khoảng năm 1935, với mục tiêu viết một bộ sách giáo khoa toán học hoàn chỉnh và chặt chẽ, dựa trên lý thuyết tập hợp.
André Weil (安德烈·韦伊): Một trong những thành viên sáng lập của trường phái Bourbaki, nổi tiếng với những đóng góp trong lý thuyết số và hình học đại số.
Simone Weil (西蒙娜·韦伊): Em gái của André Weil, một nhà triết học, nhà hoạt động chính trị và nhà thần bí người Pháp.
Chương trình Langlands (朗兰兹纲领): Một loạt các phỏng đoán có ảnh hưởng sâu rộng, liên kết lý thuyết số, hình học đại số và lý thuyết biểu diễn.
Nhóm Galois (伽罗瓦群): Một nhóm liên quan đến một phương trình đa thức, mô tả các đối xứng của các nghiệm của phương trình đó.
Hàm automorphic (自守函数): Một loại hàm số phức, có tính đối xứng cao đối với một nhóm biến đổi tuyến tính phân thức.
Phiến đá Rosetta (罗赛塔石碑): Một phiến đá cổ Ai Cập, trên đó khắc cùng một văn bản bằng ba loại chữ viết khác nhau, giúp giải mã chữ tượng hình Ai Cập.
Toàn Cơ Đồ (璇玑图): Một bài thơ cổ của Trung Quốc có dạng một ma trận chữ, có thể đọc theo nhiều cách khác nhau để tạo ra các bài thơ khác nhau.
Giả thuyết Taniyama-Shimura-Weil (谷山-志村-韦伊): Một giả thuyết quan trọng trong lý thuyết số, sau này được chứng minh và trở thành một phần của chứng minh Định lý lớn Fermat.
Định lý lớn Fermat (费马大定理): Một định lý nổi tiếng trong lý thuyết số, phát biểu rằng không có số nguyên dương a, b, c nào thỏa mãn phương trình a^n + b^n = c^n với n là một số nguyên lớn hơn 2.
Alexandre Grothendieck (亚历山大·格罗滕迪克): Một nhà toán học vĩ đại, người có những đóng góp nền tảng cho hình học đại số hiện đại.
Quark (夸克): Một loại hạt cơ bản, là thành phần cấu tạo nên các hadron (như proton và neutron).
Lepton (轻子): Một loại hạt cơ bản, bao gồm electron, muon, tau và các neutrino tương ứng.
Neutrino (中微子): Một loại hạt cơ bản, có khối lượng rất nhỏ và tương tác rất yếu với vật chất.
Định luật Bacon: chỉ Francis Bacon, một nhà triết học người Anh, ông được coi là cha đẻ của chủ nghĩa kinh nghiệm, người đề xướng phương pháp khoa học.