Chương 220: Tham Gia Một Chút
Một lư hương, vài sợi khói xanh lượn lờ. Cả căn phòng không thấy bất kỳ nguồn sáng nào, nhưng không biết từ đâu đến, ánh sáng lại chiếu rọi từng tấc một trong phòng. Những tờ giấy Tuyên Thành khổ lớn chất ngay ngắn trên bàn. Chủ nhân thư phòng rõ ràng thích dùng bút lông mềm, vì vậy trên bàn còn có một nghiên mực. Mực trong nghiên, sánh đặc đều đặn, tựa dầu lại tựa nước. Một cây bút lông đặt bên cạnh.
Mực kia dường như đang chờ đợi, chờ đợi khoảnh khắc mình hóa thành áng văn kinh thế.
Nhưng thực tế, mực này dường như mới mài, cũng chỉ là hiệu ứng pháp thuật của nghiên mực. Cây bút kia, đã lâu không động đến.
Chủ nhân của mực và bút đã cứng đờ ở đây từ lâu.
Toán Chủ Hy Bách Triệt, dù viết chữ gì, ra ngoài đều được người ta tôn làm bảo vật. Tuy chữ của ông thực sự rất đẹp. Nhưng thân phận của ông mới thực sự cao quý.
Thế nhưng, một vị thần nhân như vậy cũng có ngày chau mày.
"Haiz... vẫn không có tiến triển." Ông lắc đầu, trong ánh mắt tĩnh lặng sâu xa là sự lo lắng không giấu được.
Những ngày này, ông đã dốc hết tất cả. Không thể nói là không có thành quả, nhưng không đáng nhắc đến. So với hùng tâm tráng chí của bản thân thì thật sự quá nhỏ bé.
"Sư phụ..." Một trong những đệ tử của Hy Bách Triệt đứng sau lưng ông, vẻ mặt lo lắng: "Gần đây người có vẻ quá ưu tư..."
"Đúng vậy." Toán Chủ thở dài: "Toán Quân... chỉ luận về toán đạo, tuyệt đối không có đối thủ. Nhân vật như vậy đánh tới, nếu ta không sợ, thì không phải là ta nữa."
Toán Chủ không phải thiên tài. So với người cùng thời, ông là "thiên tài kiểu cần cù" tu luyện bản thân bằng sự siêng năng, kiên trì không ngừng nghỉ. Tự nhiên, những thiên tài cùng thời với ông đều đã bị ông bỏ lại phía sau.
Cả đời ông không phải chưa từng bại, chưa từng sợ. Vì vậy, ông cũng không ngại nói về những điều này.
Tự nhiên nghĩ gì nói nấy.
"Sư phụ, người có thể nghỉ ngơi như mọi khi, thư giãn đầu óc, cửa ải này kỳ thật cũng không nhất thiết phải công phá. Người xem, ba năm trước chúng ta đã chứng minh được tính hoàn bị của không ít hệ thống toán học..."
"Hà Khoa." Hy Bách Triệt gọi thẳng tên học trò này: "Gần đây con có nghe được tin tức gì sao?"
Vị tu sĩ bán bộ Tiêu Dao này là một trong những đệ tử thời kỳ đầu của ông, tình cảm với Toán Chủ tự nhiên khác với những đệ tử sau này. Anh ta không dám nhìn vào bóng lưng sư phụ, cúi đầu nói: "Gần đây... con có tiếp xúc với Hà sư đệ..."
Hà Ngoại Nhĩ là đệ tử có thành tựu của Toán Chủ. Không ít đệ tử của Toán Chủ đều gọi anh ta là sư huynh. Nhưng những người lớn tuổi hơn như Hà Khoa thì gọi là sư đệ.
Hy Bách Triệt lộ vẻ đau đầu: "Ngoại Nhĩ à... Tên đó sau khi tin vào Liên Tông, liền thay đổi. Nó nói gì?"
"Con có thăm dò ý tứ của cậu ấy, hình như tình hình thật sự không ổn..."

"Xem ra Toán Quân vẫn có chút bản lĩnh." Toán Chủ gật đầu, không để tâm: "Lỗ hổng trong lý thuyết của ta rất nhiều, nếu hắn có thể tìm ra một hai chỗ, ta còn phải cảm kích hắn. Chỉ là, hắn hẳn là không thèm suy nghĩ về lĩnh vực này đâu nhỉ? Hừ."
Hà Khoa cắn răng: "Còn có, Phùng tiên sinh... Phùng tiên sinh cũng biết. Chỉ là, bọn họ đều lo lắng người không chịu đựng nổi..."
"Ta nói sao lão bằng hữu này dạo này cứ lén lút, thì ra là vậy." Vẻ mặt Hy Bách Triệt trở nên nghiêm trọng: "Xem ra, thật sự là vấn đề lớn. Có thể cơ bản đến mức nào? Rốt cuộc ta sai ở đâu..."
Trong lòng Hà Khoa lạnh toát: Đến bây giờ, suy nghĩ của sư phụ vẫn chưa hướng về "tính hoàn bị"... Người căn bản không nghi ngờ tính hoàn bị của toán học...
"Sư phụ, chúng ta vẫn còn đường lui. Chúng ta vẫn có thể thông qua siêu hạn quy nạp pháp, chứng minh tính hoàn bị của hệ thống từ bên ngoài hệ thống..."
Hà Khoa không nói được bao lâu. Ánh mắt Toán Chủ nhìn chằm chằm vào anh ta. Đôi mắt đen kia dường như có uy lực vô biên. Rất nhanh, anh ta không nói tiếp được nữa. Một lúc lâu sau, Toán Chủ mới chuyển tầm mắt về phía chứng minh đã bị mình đình trệ từ lâu. Ông dường như muốn dựa theo chứng minh này, "nhìn thấy" bờ bên kia của toán học.
"Chúng ta phải biết, chúng ta nhất định sẽ biết..."
Ông lẩm bẩm.
"Tóm lại, đây là mạch suy nghĩ gần đây của con." Vương Kỳ vẻ mặt bình thản báo cáo với Phùng Lạc Y.
Cái gọi là "mạch suy nghĩ" có lúc cần phải giấu kín, nhưng có lúc nói ra cũng không sao.
Mạch suy nghĩ này của Vương Kỳ đối với Phùng Lạc Y chính là như vậy.
Phùng Lạc Y đã là tu sĩ đỉnh cấp. Dù là danh hay lợi, ông cũng không còn yêu cầu gì cao hơn. Điều vị đại toán gia này nghĩ trong lòng, không gì khác ngoài việc tìm được đại đạo, ngoài ra còn có thoát khỏi cái gọi là "cảnh tượng chung cực". Ngoài những điều đó ra, không còn lợi ích nào có thể lay động ông.
Nói đúng hơn, vì muốn thực hiện lý tưởng của mình, hậu bối có thiên phú như Vương Kỳ càng nhiều càng tốt. Từ góc độ này mà nói, sự ủng hộ của Phùng Lạc Y dành cho Vương Kỳ thật sự có thể nói là không tiếc công sức.
Đây cũng là lý do mà những người đã "đứng trên đỉnh" không ngại dìu dắt hậu bối.
Phùng Lạc Y suy nghĩ về mạch suy nghĩ của Vương Kỳ trong đầu. Ông nghĩ: "Xem tình hình này của con, dường như muốn đánh xuyên qua hai mươi ba vấn đề này."
"Không dám, không dám." Vương Kỳ xua tay. Hai mươi ba vấn đề này đáng sợ đến nhường nào? Ngay cả ở Trái Đất, trong hai mươi ba vấn đề này vẫn còn vài vấn đề chưa được giải quyết. Dù có tự tin giải quyết được một hai vấn đề trong số đó, anh cũng không dám nói có thể giải quyết tất cả.
Phùng Lạc Y lắc đầu: "Chuyện sau này, ai biết được? Năm sáu năm trước, ta cũng không nhìn ra con lại có thể dựa theo tính hoàn bị đó, một hơi đánh xuyên qua vấn đề thứ hai, thứ mười - ừm, có khi còn phải thêm cả vấn đề thứ nhất."
"Nhưng mà..." Ánh mắt Phùng Lạc Y đột nhiên sắc bén: "Con hình như luôn thích đi đường vòng."

"Đường vòng?"
Vương Kỳ ngạc nhiên. Phương pháp cưỡng bức mới là cách giải quyết hoàn hảo cho vấn đề giả thuyết liên tục chứ? Tại sao lại là đường vòng?
"Gần đây ta thấy được một mạch suy nghĩ rất kỳ lạ, rất thú vị." Phùng Lạc Y nhìn chằm chằm vào mắt Vương Kỳ, nói: "Kết hợp tất cả các tập hợp có thể thành lập thành một hệ thống, so sánh kích thước của vô hạn trong vô hạn..."
Vương Kỳ kinh ngạc: "Có người nghĩ ra rồi?"
Đây chính là mạch suy nghĩ chứng minh giả thuyết liên tục của Gödel lúc trước!
Trong phạm vi mà hệ tiên đề ZF cho phép, chứng minh rằng nếu hệ tiên đề ZF có tính nhất quán, thì giả thuyết liên tục là đúng. Trong hệ tiên đề ZF, giả thuyết liên tục không thể bị chứng minh là sai.
Đối với hai mươi ba vấn đề, đây hẳn là một đáp án hoàn hảo.
Nhưng, "không thể chứng minh là sai" không có nghĩa là "chứng minh là đúng".
Theo mạch suy nghĩ này, người ta cũng có thể chứng minh được, trong hệ tiên đề ZF, giả thuyết liên tục không thể chứng minh là đúng.
Nói cách khác, vấn đề liên tục trong phạm vi lý thuyết tập hợp là một vấn đề có tính không thể xác định. Nếu kết luận "không thể chứng minh là đúng cũng không thể chứng minh là sai" này xuất hiện sớm hơn, thì không cần chứng minh nghiêm ngặt vấn đề thứ mười, đây chính là một phản ví dụ tuyệt đối cho "tính xác định".
Chỉ có thể chứng minh ở bên ngoài hệ tiên đề hiện có.
Phương pháp cưỡng bức chính là phá vỡ sự ràng buộc của hệ tiên đề ban đầu, tự tạo hệ thống, tự định con đường.
Nhưng, nếu lấy lý thuyết tập hợp, hệ tiên đề hiện có làm nền tảng, vậy hệ thống "tự tạo" này nên tính như thế nào? Ngoài nền tảng? Trong toán học?
Đây cũng là nguồn gốc ý nghĩa trọng đại của phương pháp cưỡng bức.
Nghe thấy tiếng kinh hô của Vương Kỳ, ánh mắt Phùng Lạc Y lóe lên: "Mạch suy nghĩ này, con cũng đã từng nghĩ tới đúng không?"
"Mơ hồ nghĩ tới, nhưng mà... không thích lắm." Vương Kỳ chỉ có thể nói như vậy. Nếu xét về tính đơn giản, trôi chảy của quá trình chứng minh lý thuyết, phương pháp cưỡng bức của Cohen kém xa mạch suy nghĩ của Gödel. Trừ khi ngu ngốc, nếu không người bình thường sẽ không chọn con đường khó khăn này khi phía trước vẫn còn đường.
"Lại là trực giác không có căn cứ?" Phùng Lạc Y lắc đầu, hiếm khi không trách mắng Vương Kỳ, chỉ thở dài: "Mấy năm trước, hình như cũng đã từng xảy ra chuyện này... Con tránh né con đường mà người thường cho là bình thường, đi đường vòng, mãi cho đến gần đây khi đưa ra luật không hoàn chỉnh, phá vỡ cái gọi là hoàn chỉnh, ta mới phát hiện, thì ra con đường vòng mà con đi mấy năm trước mới là con đường đúng duy nhất."
Điều Phùng Lạc Y nói tới, chính là con đường Vương Kỳ dùng siêu hạn quy nạp pháp chứng minh tính nhất quán của hệ thống số học trước và sau khi nhận được Đạo Chủng. Theo suy nghĩ của người bình thường, anh nên dựa vào "hệ thống logic vị từ bậc nhất hoàn bị" mà mình đã chứng minh, từ bậc nhất suy ra bậc cao.
Nhưng, lúc đó Vương Kỳ lại lựa chọn một con đường vô cùng xa xôi - chứng minh hệ thống không mâu thuẫn từ bên ngoài hệ thống.
Mọi người sẽ thấy kỳ lạ, rõ ràng có con đường bằng phẳng, tại sao không đi, lại cứ phải vòng ra ngoài hệ thống, chẳng phải là ngốc sao?

Lúc đó, chỉ có Vương Kỳ hiểu, hệ thống này không thể "không mượn ngoại lực". Vòng vo mà anh đi là điều bắt buộc.
Nhưng lần này thì khác. Mạch chứng minh của Gödel chỉ là không có ý nghĩa lớn như phương pháp cưỡng bức, không có sức mạnh không thể chối cãi như phương pháp cưỡng bức. Thực tế, đây vẫn là một con đường đúng đắn.
Anh chỉ có thể nói: "Chuyện này... thật sự chỉ là vấn đề sở thích cá nhân. Mạch suy nghĩ đó hẳn là không sai."
"Ồ." Phùng Lạc Y gật đầu, cũng không biết có nghe lọt tai hay không.
"Đúng rồi, sư phụ." Vương Kỳ đột nhiên tò mò: "Người đề xuất mạch suy nghĩ đó rốt cuộc là ai?"
Rốt cuộc là kỳ nhân nào lại có thể độc lập suy nghĩ ra mạch suy nghĩ giống hệt với đại thần Gödel?
Phùng Lạc Y cười nói: "Con cũng quen. Chân truyền Vạn Pháp Môn, Tô Quân Vũ."
"Tô sư huynh? Lĩnh vực của anh ấy có bao gồm logic sao?" Vương Kỳ ngạc nhiên.
Trong ấn tượng, tên Tô Quân Vũ đó học rất nhiều lĩnh vực, hình như cái gì cũng có, chủ yếu là xác suất và hình học... Ừm, nghĩ như vậy, hình như anh ta cũng không phải là không có khả năng tiếp xúc với logic? Nếu một ngày nào đó anh ta nổi hứng chạy đi học logic - rất có khả năng!
Nhưng, đây thật sự là sự trùng hợp kỳ diệu. Vương Kỳ nghĩ: Người sáng lập ra phương pháp cưỡng bức, Cohen, lĩnh vực nghiên cứu không phải là logic toán học. Ban đầu ông ta chỉ đơn thuần hứng thú với vấn đề thứ nhất, vì vậy muốn thử sức ở lĩnh vực khác. Bản thân ông ta kỳ thật không thể hiểu được ý nghĩa to lớn của phương pháp cưỡng bức.
Tô Quân Vũ chắc cũng nghĩ như vậy... Muốn tham gia vào lĩnh vực của vấn đề thứ nhất, kết quả lại đạt được thành tựu lớn.
Chú thích các thuật ngữ khoa học:
Giả thuyết liên tục (连续统假设): Một giả thuyết trong lý thuyết tập hợp, phát biểu rằng không tồn tại tập hợp nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập hợp các số tự nhiên và nhỏ hơn lực lượng của tập hợp các số thực.
Hệ tiên đề ZF (ZF公理系统): Hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, là một hệ tiên đề được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết tập hợp.
Tính nhất quán (一致性): Một tính chất của một hệ tiên đề, nói rằng không thể suy ra được cả một mệnh đề và phủ định của nó từ hệ tiên đề đó.
Tính hoàn bị (完备性): Một tính chất của một hệ tiên đề, nói rằng mọi mệnh đề đúng trong hệ thống đều có thể được chứng minh từ hệ tiên đề đó.
Siêu hạn quy nạp pháp (超穷归纳法): Một phương pháp chứng minh toán học được sử dụng để chứng minh các mệnh đề về các tập hợp được sắp thứ tự tốt, bao gồm cả các tập hợp vô hạn.
Phương pháp cưỡng bức (力迫法): Một kỹ thuật tiên tiến trong lý thuyết tập hợp, được phát triển bởi Paul Cohen để chứng minh tính độc lập của giả thuyết liên tục so với hệ tiên đề ZF.
Gödel: Kurt Gödel, nhà logic học, toán học và triết học người Áo-Mỹ.
Cohen: Paul Cohen, nhà toán học người Mỹ, nổi tiếng với công trình về giả thuyết liên tục.