Chương 24: Lý Thuyết Độ Đo
"Độ dài là gì? Diện tích là gì? Thể tích là gì?"
Câu hỏi bất ngờ này khiến Áo Lưu ngây người một lúc. Hắn không ngờ Vương Kỳ lại hỏi những vấn đề như vậy. Sau khi suy nghĩ một lát, hắn mở miệng nói: "Độ dài là..."
Lời đến miệng lại không nói ra được.
Thế nào là dài?
Vấn đề này, e rằng mỗi người đều biết. Cho dù là yêu tộc mới khai linh hoặc trẻ con, đều có thể bi bô so sánh lớn nhỏ, dài ngắn và nhiều khái niệm khác.
Nhưng, khái niệm càng đơn giản, ngược lại càng khó diễn tả. Bởi vì trong lòng phần lớn mọi người, khái niệm "độ dài" đã đủ cơ bản rồi. Muốn họ dùng khái niệm cơ bản hơn để biểu đạt một khái niệm như vậy...
Thật sự rất khó.
Thấy dáng vẻ của hắn, Vương Kỳ có chút buồn cười, nhưng vẫn nghiêm túc nói: "Nếu ngươi không thể trả lời câu hỏi này, vậy thì đơn giản hơn vậy. Chỉ hỏi ngươi, độ dài là gì?"
Áo Lưu đã không thể nói ra những lời như "đừng coi thường yêu" nữa.
Hắn rất nghiêm túc suy nghĩ vấn đề, cuối cùng cẩn thận nói ra kết luận: "Khoảng cách giữa hai điểm..."
"Ha ha." Vương Kỳ cười nhạt.
Áo Lưu có chút bị kích động. Hắn đứng dậy, nói: "Đạo lý hiển nhiên như vậy, ai mà không hiểu? Nếu ai cũng hiểu, vậy tại sao phải nghiên cứu nó? Ta nói, các ngươi nhân tộc đã rơi vào chấp niệm chướng rồi, chỉ nhìn chằm chằm vào mảnh đất nhỏ bé của mình, lại không thấy được bầu trời rộng lớn."
"Hiển nhiên?" Ngữ khí của Vương Kỳ tràn đầy ý vị trêu chọc. Hắn tay chân cùng dùng lật xuống bục giảng, trên không trung lộn một vòng, rơi xuống trước bàn học của Áo Lưu, nhìn thẳng vào Áo Lưu. Nụ cười của hắn có chút âm trầm: "Nhóc con, ta phải nói cho ngươi biết, không có gì là hiển nhiên cả. Cái gọi là 'hiển nhiên' chẳng qua là đầu óc của ngươi, hồn phách của ngươi, trí tuệ của ngươi cho ngươi một loại ảo giác, một loại huyễn tượng."
"Huyễn tượng này có tên gọi là 'ta sinh ra đã biết' hoặc là 'ta rất thông minh' 'ta tâm cận đạo'."
Vương Kỳ lại đứng lên: "Có lẽ linh trí có được hậu thiên khiến các ngươi có cảm giác 'có linh trí mới được sinh ra' đi. Loại cảm tình này, chúng ta thật sự không thể nào hiểu được. Đối với chúng ta nhân tộc mà nói, 'linh tuệ' thật sự là rất bình thường. Cho nên, chúng ta mới cảm thấy linh tuệ kỳ thực cũng không có gì vĩ đại - ít nhất trí tuệ ở trình độ nhân tộc chúng ta không có gì vĩ đại. Tất cả những gì chúng ta biết, kỳ thực đều là gông xiềng do trí tuệ tự đặt ra."
"Chỉ có nhận rõ chấp niệm, mới có thể phá bỏ chấp niệm. Chỉ có hiểu rõ sự nhỏ bé của bầu trời, mới có thể tính toán sự bao la của biển sao."
Áo Lưu cau mày: "Ngồi mà luận đạo sao? Nói thì hay thôi."
Trong lòng hắn kỳ thực có chút mừng thầm. Loại tranh luận về quan niệm, lý niệm này có thể nói rất lâu, cuối cùng có khả năng biến thành cục diện không ai có thể thuyết phục được ai. Nếu rơi vào cục diện như vậy, hắn ngược lại có cơ hội xóa bỏ màn xấu hổ vừa rồi.

Tiếc rằng, Vương Kỳ sẽ không cho hắn cơ hội này.
Thế giới suy cho cùng vẫn là khách quan. Chân chính là chân chính, giả dối chính là giả dối.
Vương Kỳ thân thể ngửa ra sau, như muốn ngã xuống đất. Giây tiếp theo, hắn liền đứng vững trên bục giảng. Hắn nói: "Vừa rồi ngươi nhắc tới 'bốn điều kiện' chống đỡ một bộ hình học, chắc hẳn cũng biết 'điều kiện thứ năm' chứ?"
Áo Lưu gật đầu: "Không tuyệt đối."
"Có thể gọi Họa Thiên Pháp là 'điều kiện' các ngươi canh tân yêu tộc cũng có chút trí tuệ. Tiếc thay..." Vương Kỳ lắc đầu, không biết là tiếc cho canh tân yêu tộc không đi sâu hơn, hay là tiếc cho một hậu bối nào đó học nghệ không tinh. Hắn nói: "Nếu các ngươi biết cái mà chúng ta nhân tộc gọi là Họa Thiên Pháp công thiết, vậy cũng nên biết định nghĩa của điểm, đường, mặt chứ?"
Áo Lưu gật đầu. Vấn đề hiển nhiên như vậy, bọn họ quả thực là biết.
"Đường là tổng của vô số điểm, đúng không?"
Áo Lưu lại gật đầu.
Vương Kỳ tiếp tục hỏi: "Vậy các ngươi có từng nghĩ, điểm không có độ dài. Hoặc là nói, độ dài của điểm là không. Đường do vô số điểm tạo thành, vậy, đường lấy đâu ra độ dài?"
"Ừm..." Vấn đề này, khiến tất cả học sinh đều ngây ra một chút.
Bao gồm cả Nguyệt Lạc Lưu Ly và Bạch Huyền Tố Tranh, hai Long tộc, tất cả mọi người đều ngây ra.
—— Cái này... thật sự chưa từng có ai nghĩ tới!
Vương Kỳ nhìn biểu cảm của đám học sinh phía dưới, cuối cùng cũng hài lòng gật đầu.
—— Nhóc con, ta còn trị không được các ngươi sao?
—— Ta nói cho các ngươi biết, ta ở đây nhìn thì đơn giản, nhưng vấn đề khó muốn c·hết có bao nhiêu là có bấy nhiêu.
Vấn đề mà Vương Kỳ vừa đưa ra, kỳ thực chính là một phần quan trọng trong "lý thuyết độ đo". Mà lời giải của nó, trên Địa Cầu được gọi là "tích phân Lebesgue". Ở thế giới này, nó là kinh điển của Ly Tông, do Ca Đình phái hoàn thành.
Mặc dù đây chỉ là một chú thích nhỏ trong cuộc đời huy hoàng của Toán Chủ, nhưng phần lớn mọi người đều biết, nếu có đệ tử Vạn Pháp Môn nào lĩnh hội được điều này, vậy thì thăng lên Luyện Hư kỳ cũng không có gì trở ngại.
Những nhân vật thiên tài chưa từng tiếp xúc với toán học chủ lưu cần bao lâu để có thể hoàn toàn hiểu rõ vấn đề này?

Grothendieck thời trung học cần ba năm.
"Muốn giải thích vấn đề này, phải bắt đầu từ lý thuyết tập hợp." Vương Kỳ nói, bắt đầu giảng giải nội dung ban đầu trong tập hợp. Tập hợp, tập con, phần tử, hợp, giao, bù, vân vân.
Những nội dung này hoàn toàn hướng tới học sinh trung học phổ thông bình thường. Khoảng ba đến năm tiết học, học sinh trung học phổ thông bình thường trên Địa Cầu có thể nắm vững nội dung này. Mà học sinh hiện tại của Vương Kỳ ít nhất đều là yêu tộc cao giai Hóa Hình kỳ, trí nhớ càng mạnh mẽ, hắn chỉ cần một giờ, liền đảm bảo để bọn họ nắm vững những khái niệm cơ bản của tập hợp.
Đương nhiên, cũng thật sự chỉ là khái niệm cơ bản mà thôi.
"Tiếp theo, chúng ta có thể đưa vào một số khái niệm phức tạp hơn, ví dụ như 'vô cùng lớn'. Khái niệm 'vô cùng lớn' này cũng rất phức tạp. Ta biết, ngoài toán học, khái niệm này cũng được một số người thảo luận. Có lẽ trong số các ngươi có một số người đã từng suy nghĩ về vấn đề như vậy - cái gì gọi là vô cùng lớn. Mà bây giờ, hãy vứt bỏ những định nghĩa huyền diệu trong đầu các ngươi. Trong toán học, vô cùng chỉ có hai loại đã biết. Vô cùng đếm được và vô cùng không đếm được. Tập hợp tất cả các số nguyên được gọi là 'vô cùng đếm được'. Vô cùng không đếm được lớn hơn vô cùng đếm được, không tồn tại vô cùng nào nhỏ hơn vô cùng đếm được..."
"Tập hợp tất cả các số thực là một vô cùng không đếm được. Mà tất cả các tập hợp tương đương với 'tập hợp tất cả các số thực' được gọi là 'continuum'." Nói đến đây, Vương Kỳ cười một tiếng: "Nhân tiện nói, một phần không nhỏ trong hệ thống này là do ta chứng minh. Nói cách khác, đây là thứ mà ta ngộ ra. Điểm này nhất định phải nhấn mạnh."
Áo Lưu sắc mặt xanh mét.
"Câu chuyện của ta và 'giả thuyết continuum' có thời gian sẽ kể cho các ngươi nghe. Tóm lại, các ngươi biết khái niệm này là được. Nếu muốn hỏi sự khác biệt giữa 'vô cùng đếm được' và 'vô cùng không đếm được' vậy thì nói đơn giản một chút - đây có lẽ chính là bí ẩn giữa điểm không có kích thước với đường và mặt."
"Bây giờ quay lại chủ đề chính. Độ dài, diện tích, thể tích mà chúng ta thường nói, rốt cuộc có ý nghĩa là gì?" Vương Kỳ hai tay chống lên bục giảng: "Để làm rõ chủ đề này, chúng ta hãy tập trung vào trường hợp đơn giản nhất, một chiều, nghĩa là, chúng ta chỉ xét 'độ dài'. Chúng ta hy vọng lấy một phần của đường thẳng, liền có một 'độ dài' tồn tại. Nếu có thể làm được điều này, thì tương tự, những từ ngữ như diện tích và thể tích cũng có thể được hiểu một cách tương tự."
"Đầu tiên, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa như sau. Một đường thẳng chính là một tập điểm khổng lồ."
"Mỗi tập con của tập điểm này, bao gồm cả chính nó, đều tồn tại 'thế'. Thế này chính là một độ đo."
"Hợp của hai tập con không giao nhau - tức là một tập con khác của tập điểm lớn này, cũng có độ đo và độ đo này nên bằng tổng của hai tập con. Nói đơn giản, tổng độ dài của hai đoạn thẳng không giao nhau không chồng chéo, có thể coi là tổng độ dài của chúng."
"Tiến thêm một bước, tổng độ đo của ba tập con không giao nhau cũng nên bằng độ đo của tập hợp được tạo thành từ hợp của ba tập con này, bốn, năm cũng vậy, cứ thế mà suy, tổng độ đo của vô số tập con không giao nhau cũng nên bằng độ đo của tập hợp được tạo thành từ hợp của chúng."
Nói đến đây, Vương Kỳ trịnh trọng nói: "Tiếp theo, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa cuối cùng."
"Một, độ đo tương ứng với tập rỗng là không. Hai, độ đo của tập con được tạo thành từ hợp của một số tập con không giao nhau, bằng tổng độ đo của các tập con đó. Ba, nếu coi đường thẳng là trục số thực, thì độ đo tương ứng với đoạn thẳng từ điểm Tý đến điểm Sửu trên trục số nên bằng Sửu trừ đi Tý."
Sau đó, Vương Kỳ nhắm mắt lại, biểu cảm nghiêm trang.
"Đây chính là định nghĩa chặt chẽ của 'độ dài' mà mọi người thường nói, hơn nữa là định nghĩa duy nhất đúng."
Đương nhiên, câu nói này có chút khoa trương. Độ đo Lebesgue mà Vương Kỳ vừa trình bày [ở thế giới này, nó được gọi là "độ đo Ca Đình"] chỉ là một loại độ đo. Trên thực tế, thế giới này cũng sẽ tồn tại các hệ thống độ đo khác. Toán học cũng thừa nhận các độ đo khác khác với loại độ đo này.

Ví dụ, một loại độ đo khác liên quan đến vật lý địa cầu, độ đo Dirac [ở thế giới này cũng gọi là "vô lượng độ đo"]
Điều này khiến nhiều nhà toán học tin rằng, trên thực tế còn có độ đo phổ quát hơn, chỉ là con người chưa hiểu đến bước đó.
Nhưng, ở giai đoạn hiện tại, từ "độ dài" đã được định nghĩa một cách chặt chẽ, nhận thức của con người về toán học cũng đã đến một tầng sâu hơn.
Có một khoảnh khắc, Áo Lưu thật sự bị chấn động. Hắn kinh ngạc trước trí tuệ chặt chẽ này. Nhưng hắn vẫn hỏi: "Cái này có ích gì chứ? Đây chẳng qua là chơi trò chơi chữ. Trò chơi này, ta có thể chơi cả ngày..."
"Đúng vậy, có ích gì chứ." Thân hình lóe lên, Vương Kỳ lại một lần nữa xuất hiện trước mặt Áo Lưu: "Định nghĩa này vừa hay có thể khiến ngươi ý thức được sự nhỏ bé của bản thân."
Chú thích:
Lý thuyết độ đo (测度论): Một nhánh của toán học nghiên cứu về khái niệm độ dài, diện tích, thể tích và các khái niệm tổng quát hóa của chúng.
Tích phân Lebesgue (勒贝格积分): Một loại tích phân tổng quát hơn tích phân Riemann, cho phép tích phân các hàm số phức tạp hơn.
Độ đo Lebesgue (勒贝格测度): Một cách gán "độ dài" cho các tập con của đường thẳng thực, "diện tích" cho các tập con của mặt phẳng, v.v.
Tập hợp (集合): Một tập hợp các đối tượng (phần tử) phân biệt.
Tập con (子集): Một tập hợp mà tất cả các phần tử của nó đều thuộc một tập hợp khác.
Hợp (并集): Tập hợp chứa tất cả các phần tử của hai hoặc nhiều tập hợp.
Giao (交集): Tập hợp chứa các phần tử chung của hai hoặc nhiều tập hợp.
Bù (补集): Tập hợp chứa các phần tử thuộc một tập hợp nhưng không thuộc một tập hợp khác.
Vô cùng đếm được (可数无穷): Một tập hợp vô hạn có thể đặt tương ứng một-một với tập hợp các số tự nhiên.
Vô cùng không đếm được (不可数无穷): Một tập hợp vô hạn không thể đặt tương ứng một-một với tập hợp các số tự nhiên.
Continuum (连续统): Tập hợp tất cả các số thực, một ví dụ về vô cùng không đếm được.
Giả thuyết continuum (连续统假设): Một giả thuyết toán học phát biểu rằng không có tập hợp nào có lực lượng lớn hơn tập hợp các số tự nhiên và nhỏ hơn tập hợp các số thực.
Độ đo Dirac (狄拉克测度): Một loại độ đo tập trung toàn bộ "khối lượng" vào một điểm duy nhất.
Grothendieck (格罗滕迪克): Alexander Grothendieck, một nhà toán học vĩ đại, người có những đóng góp quan trọng cho hình học đại số và lý thuyết số.