Chương 217: Phương Pháp Chứng Minh của Gödel
“Ta biết rồi! Ta biết rồi!” Giọng nói phấn khích của Tô Quân Vũ vang vọng khắp nơi tập huấn. Hắn gào thét, kích động đến mức dùng pháp lực chấn nát những tờ giấy trước mặt, tung lên không trung, tựa như hoa bay lả tả.
Mấy ngày gần đây, nơi tập huấn này đều chìm trong u ám. Một đám toán gia với tín niệm chắc chắn sẽ bị phủ nhận tụ tập học hỏi giao lưu, giống như một đám tử tù đang sưởi ấm cho nhau.
Tiếng hô của Tô Quân Vũ, vô hình chung đã cổ vũ mạnh mẽ cho những người khác.
Bạc Tiếu Phong chấn động. Hắn biết Tô Quân Vũ đang suy nghĩ điều gì. Tuy rằng mọi dấu hiệu đều cho thấy, có lẽ đã có tiền bối chứng minh được cái “bất toàn” kia rồi –– cho dù không phải, thì ít nhất cũng đã phủ định được lối suy nghĩ của Toán Chủ.
Thế nhưng, khi kết quả này thật sự bày ra trước mắt, hắn lại có chút không dám tin.
Vẻ mặt của Tô Quân Vũ cũng thu hút sự chú ý của những người khác. Mấy ngày nay, tư tưởng kỳ quái của hắn đã được không ít người biết đến. Nghe nói hắn đang suy nghĩ về vấn đề “bất toàn” rất nhiều người đều âm thầm theo dõi. Hoặc là chờ xem trò cười, hoặc là chờ đợi sự thành công của hắn.
Mà giờ, hắn thành công rồi sao?
Càng nhiều người vây quanh Tô Quân Vũ. Bạc Tiếu Phong là người đầu tiên lên tiếng: “Tô Quân Vũ… chúc mừng… chúc mừng…”
Tô Quân Vũ xua tay: “Còn chưa đến lúc chúc mừng đâu. Ta cảm thấy mình vô tình tìm được một hướng đi trọng đại… Nếu thành công, Nguyên Thần có hy vọng.”
Một tu sĩ khác quen biết Tô Quân Vũ hỏi: “Nguyên Thần… ngươi bây giờ mới Kim Đan ba bốn năm thôi đúng không?”
“Con đường Nguyên Thần ư? Không, nếu ta thật sự giải quyết được vấn đề này, nói không chừng ngoài Nguyên Thần ra, ngay cả Luyện Hư Niết Bàn cũng là chuyện chắc chắn.” Vẻ mặt Tô Quân Vũ vô cùng hưng phấn: “Đây có thể là thành quả cấp Tiêu Dao!”
Mọi người hít một hơi lạnh.
Trước sau thiên quan Nguyên Thần mà đạt được thành quả thời kỳ Tiêu Dao, sau đó thuận buồm xuôi gió tấn thăng Tiêu Dao. Tu sĩ như vậy rất nhiều. Thái Nhất Thiên Tôn chính là ví dụ điển hình. Rất nhiều tu sĩ thiên tài nổi danh từ khi còn trẻ đều như vậy.
Ánh mắt mọi người nhìn Tô Quân Vũ lập tức khác hẳn. Thành quả cấp Tiêu Dao, đồng nghĩa với tương lai vô hạn tươi sáng. Cho dù nỗ lực theo hướng này mà thất bại, thì đó cũng là phủ định một con đường sai lầm. Mà trong cái “phủ định” này, tu sĩ phát động công kích cũng có thể nhận được lợi ích to lớn.
Hơn nữa, lúc này có thể xuất hiện thành quả cấp Tiêu Dao, ngoài câu hỏi thứ hai trong Nhị Thập Tam Vấn –– “chứng minh tính toàn vẹn” ra, còn có thể là gì nữa?
“Ngươi tìm được hướng đi rồi?” Cao Kế Dương vội vàng hỏi. Mặc dù hắn đã thay đổi tư duy, nhưng vẫn chưa tìm được hướng đi dẫn đến bất toàn.
Tô Quân Vũ gật đầu: “Được thôi. Nhưng mà phải nói trước, hướng đi này các ngươi không được c·ướp.”
“Tô sư huynh, nhiều người nhìn thế này, ta không tin còn có người thật sự mặt dày.” Bạc Hiểu Nhã nói lớn. Đối với chứng minh tính bất toàn, nàng đã sớm nóng lòng muốn xem chứng minh rồi.

Bạc Tiếu Phong cũng nói: “Chính là. Lão Tô, nếu lúc này có người đạo văn ý tưởng của ngươi, ta… còn có người nhà của ta đều sẽ ủng hộ ngươi.”
“Người nhà” mà Bạc Tiếu Phong nói đến, chính là bao gồm cả Bạc gia với nhiều tu sĩ Tiêu Dao. Không ai có thể phớt lờ lời cảnh cáo này.
Còn nhiều người khác thì lớn tiếng nói: “Biết đâu là thứ đã được vị tiền bối kia chứng minh rồi, cần gì phải giấu giếm thế? Nói mau! Nói mau!”
Những đệ tử Vạn Pháp Môn này đã sớm mong chờ câu trả lời cho vấn đề này.
Tô Quân Vũ gật đầu: “Được, vậy ta nói một chút. Liên tục thống các ngươi biết chứ?”
“Liên tục thống?” Cao Kế Dương lập tức nhận ra điều gì đó không đúng: “Vấn đề thứ hai còn liên quan đến liên tục thống sao? Vấn đề thứ nhất và thứ hai, thực chất là hai mặt của một vấn đề?”
Tô Quân Vũ cũng ngẩn ra: “Hai mặt của một vấn đề? Có cách nói này sao?”
Ngay sau đó, hắn cũng ý thức được điều gì, cười khổ nói: “Cái đó… xin lỗi mọi người, linh cảm vừa rồi của ta là về vấn đề thứ nhất, không liên quan gì đến vấn đề thứ hai.”
“Vấn đề thứ nhất?” Bạc Tiếu Phong trừng lớn mắt: “Ngươi không phải đang suy nghĩ vấn đề thứ hai sao? Sao lại chạy sang vấn đề thứ nhất rồi?”
“Vô tình thôi.” Tô Quân Vũ cười lớn: “Vì muốn phủ định tính toàn vẹn, gần đây ta suy nghĩ mọi ngóc ngách mà toán học có thể suy nghĩ, đặc biệt là trong hệ thống lý thuyết tập hợp. Sau đó, ta liền nghĩ đến “công lý tập hợp” kia, từ công lý đó, ta tìm được linh cảm…”
“Dừng lại!” Cao Kế Dương ngăn Tô Quân Vũ lại, sau đó dùng ngón tay vẽ một vòng tròn trên không trung. Thiên địa linh khí theo ý chí của hắn hội tụ vào trong vòng tròn này, hóa thành một pháp độ hoàn chỉnh. Vòng sáng linh quang này cứ thế bao quanh nhóm người xung quanh Tô Quân Vũ.
Cao Kế Dương trầm giọng nói: “Chúng ta có thể phỏng đoán, vấn đề thứ hai đã được giải quyết. Nhưng hiện tại vẫn chưa có dấu hiệu nào cho thấy vấn đề thứ nhất cũng đã được người khác giải quyết. Vì vậy, ý tưởng này hẳn là vẫn thuộc về một mình Tô sư đệ.”
“Nếu các sư huynh đệ xung quanh vẫn đang nghiên cứu trong lĩnh vực vấn đề thứ nhất, mà còn muốn giữ thể diện, thì tốt nhất đừng nghe tiếp, nếu không, sau này nếu xảy ra t·ranh c·hấp, mọi người đều khó xử.”
Một lúc sau, hai ba vị tông sư Nguyên Thần kỳ lui ra khỏi vòng tròn của Cao Kế Dương. Tác dụng của vòng sáng linh quang này chính là ngăn cách cảm ứng bên trong và bên ngoài. Chỉ cần ra khỏi vòng tròn này, Tô Quân Vũ dù nói gì họ cũng không nghe thấy, không nhìn thấy.
Nếu bọn họ và Tô Quân Vũ thật sự có linh cảm tương tự, vậy thì thật sự là khó phân biệt đúng sai. Huống hồ Tô Quân Vũ có vẻ quan hệ rất tốt với hai anh em nhà họ Bạc. Nếu vì vậy mà để lại ấn tượng xấu trong mắt thế lực khổng lồ Bạc gia, vậy thì thật sự là thiệt thòi lớn.
Lúc này, Cao Kế Dương mới nói với Tô Quân Vũ: “Tô sư đệ, ngươi có thể tiếp tục. Nhưng mà, đừng nói quá nhiều, chỉ cần điểm qua là được.”
Tô Quân Vũ cười sờ sờ gáy: “Sư đệ trong lòng quá khích, nhất thời hồ đồ, sư huynh dạy dỗ đúng lắm.”
“May mà lĩnh vực của ta không liên quan đến vấn đề thứ nhất, nếu không ta chắc chắn cũng nhịn không được muốn nghe thử.” Cao Kế Dương cười nói: “Bây giờ ngươi cứ nói đi.”

“Nói đi!” Mọi người nhao nhao nói.
“Vậy ta nói một chút. Trước tiên, ta phải nói rõ, đây chỉ là một ý nghĩ, một hướng đi hiện tại của ta, ta không có quá trình cụ thể, cũng không rõ những lý thuyết tiên quyết của quá trình này có hoàn thiện hay không.”
“Ta nghĩ như thế này. Đầu tiên, chúng ta phải thiết lập một khung, sau đó tất cả các tập hợp được phép tồn tại, tất cả các tập hợp có hiệu lực trong hệ thống công lý tập hợp đều được đặt vào trong khung này. Sau đó, trong khung này, chúng ta lại tiến hành thao tác như sau…”
Xung quanh Tô Quân Vũ dần dần yên tĩnh trở lại.
“Bây giờ, ta vẫn quay lại suy nghĩ về liên tục thống.”
Sau khi kết thúc trao đổi thư từ với Lộ Tiểu Tây, Vương Kỳ lại ngồi vào bàn sách của mình, bắt đầu suy nghĩ về vấn đề chứng minh liên tục thống.
“Trước tiên, là chứng minh của Gödel về vấn đề này.”
“Công việc của Gödel, chính là thiết lập một khung khổng lồ, trong khung này, bao hàm tất cả ‘tập hợp khả kiến’ trong hệ thống công lý ZF. Sau đó, trong mô hình này, Gödel chứng minh rằng, trong hệ thống công lý ZF, giả thuyết liên tục thống không thể bị chứng minh là sai.”
“Mà hai mươi ba năm sau khi Gödel đưa ra chứng minh này, một nhà toán học khác là Cohen đã đưa ra chứng minh. Vị này đã chứng minh rằng, trong hệ thống công lý ZF, giả thuyết liên tục thống không thể bị chứng minh là đúng.”
“Nói cách khác, giả thuyết liên tục thống kỳ thực là một vấn đề không thể phán định. Nó độc lập với lý thuyết tập hợp, dù là đúng hay sai, dù ngươi chấp nhận hay không chấp nhận nó, cũng đều không ảnh hưởng gì.”
“Giả thuyết nổi tiếng mà người sáng lập lý thuyết tập hợp đặt ra dựa trên lý thuyết tập hợp, lại độc lập với lý thuyết tập hợp, đây cũng coi như là tạo hóa trêu ngươi.” Vương Kỳ khẽ cảm thán một câu.
“Mà phương pháp forcing thì lại hoàn toàn khác với ý tưởng của Gödel.”
Cách gọi “phương pháp forcing” khá là b·ạo l·ực, trên thực tế, ý tưởng của nó cũng rất gần với cracking bằng b·ạo l·ực. Nó mở rộng phạm vi của “tập hợp khả kiến” đến phạm vi nhỏ nhất mà hệ thống công lý ZF cho phép, sau đó từng bước tiếp cận kết quả đó.
Do chứng minh này liên quan đến “tạo ra tập hợp vốn không tồn tại” nên quá trình chứng minh bằng phương pháp forcing của Cohen khó khăn hơn nhiều lần so với quá trình của Gödel.
Mà đây cũng là phần quan trọng nhất. Ý nghĩa của “phương pháp forcing” không chỉ nằm ở liên tục thống. Sự xuất hiện của nó giúp các nhà toán học có thể phát hiện ra nhiều mệnh đề khác độc lập với hệ thống công lý ZF.
Nếu xét thuần túy về mặt toán học, thì tính chấn động của phương pháp forcing thậm chí còn lớn hơn cả định lý bất toàn của Gödel.
Trong lịch sử Trái Đất, một bộ phận các nhà toán học, đứng đầu là Hilbert đã phớt lờ Gödel cho đến khi c·hết.
Trong đó, một phần lớn nguyên nhân là do t·ranh c·hấp về lý tưởng, về tín ngưỡng, họ căn bản không thể chấp nhận lý thuyết của Gödel.

Thế nhưng, điều này cũng có liên quan đến việc lập luận của Gödel “không đủ toán học”.
Theo quan điểm của một số nhà toán học, định lý bất toàn của Gödel phần lớn chỉ là một lập luận bằng chữ viết, chứ không phải là một quá trình chứng minh toán học.
“Chỉ cần ta có thể hoàn thành phương pháp forcing, toán học của Thần Châu sẽ có thể bước vào một cảnh giới mới.”
Vương Kỳ vung bút viết. Trong khoảnh khắc, trong thư phòng chỉ còn lại âm thanh của đầu bút ma sát với giấy.
“Tìm kiếm… tìm kiếm tập hợp nhỏ hơn tập hợp khả kiến trong hệ thống công lý ZF…”
“Công lý độc lập…”
“Độc lập…”
Trong khi suy nghĩ của Vương Kỳ, pháp lực trong cơ thể hắn lại một lần nữa phát sinh thay đổi nhỏ.
Chỉ là lần này, xung quanh hắn không xuất hiện bất kỳ dị tượng nào, pháp lực cũng không xuất hiện bất kỳ dấu hiệu nào của b·ạo đ·ộng hay sụp đổ.
Mọi thay đổi dường như đều diễn ra âm thầm, lặng lẽ. Giống như pháp lực của hắn chỉ được điều chỉnh một chút rất nhỏ.
Bản thân Vương Kỳ cũng không biết sự điều chỉnh mới này rốt cuộc có tác dụng gì.
Chú thích các thuật ngữ khoa học:
Nguyên lý bất định (不确定性原理): Một nguyên lý cơ bản trong cơ học lượng tử, phát biểu rằng ta không thể đồng thời biết chính xác cả vị trí và động lượng của một hạt. Được phát triển bởi Werner Heisenberg.
Giả thuyết liên tục thống (连续统假设): Một giả thuyết trong lý thuyết tập hợp, phát biểu rằng không tồn tại tập hợp nào có lực lượng lớn hơn lực lượng của tập hợp số tự nhiên và nhỏ hơn lực lượng của tập hợp số thực.
ZF công lý (ZF公理): Hệ thống công lý Zermelo-Fraenkel, là một hệ thống công lý được sử dụng rộng rãi để xây dựng lý thuyết tập hợp.
Tập hợp khả kiến (可建立集合): Những tập hợp có thể được xây dựng từ tập hợp rỗng bằng cách sử dụng các công lý của lý thuyết tập hợp.
Gödel (哥德尔): Kurt Gödel, nhà logic học, toán học và triết học người Áo-Mỹ. Nổi tiếng với định lý bất toàn.
Định lý bất toàn của Gödel (哥德尔不完备定理): Một định lý quan trọng trong logic toán, phát biểu rằng bất kỳ hệ thống hình thức nào đủ mạnh để diễn tả số học đều không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Nghĩa là, luôn tồn tại những mệnh đề đúng mà không thể chứng minh được trong hệ thống đó.
Cohen (科恩): Paul Cohen, nhà toán học người Mỹ, nổi tiếng với việc chứng minh tính độc lập của giả thuyết liên tục thống.
Phương pháp forcing (力迫法): Một kỹ thuật chứng minh quan trọng trong lý thuyết tập hợp, được Paul Cohen phát triển để chứng minh tính độc lập của giả thuyết liên tục thống.
Hilbert (希尔伯特): David Hilbert, nhà toán học người Đức, một trong những nhà toán học có ảnh hưởng nhất của thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20.