Chương 242: Vô Nhân Cổ Chưởng
"Tiếp theo, ta muốn giảng, chính là khái niệm quan trọng nhất mà ta học được từ Hy môn chủ, từ công việc của Ca Đình phái! Hình thức hóa."
Vương Kỳ vừa nói ra lời này, lông mày của Toán Quân liền xuất hiện thêm một nếp nhăn.
Mà phía sau hắn, càng nhiều Toán gia Thiểu Lê phái gần như phẫn nộ tột độ.
Toán Chủ Hy Bá Triệt cả đời có vô số thành tựu. Nhưng, quan điểm của hắn về bản chất toán học lại bị nhiều người chỉ trích, tuyệt đại đa số Toán gia đều khó mà chấp nhận.
Theo Toán Chủ, bản chất của toán học chính là "hình thức". Ký hiệu đơn lẻ không tồn tại bất kỳ ý nghĩa nào. "Hình thức" mà các ký hiệu đó sắp xếp mới là toán học.
Cũng giống như nói trong công thức ban đầu "1+1=2" các ký hiệu "1" "+" "=" "2" đều vô nghĩa, mà chỉ có toàn bộ đẳng thức mới có ý nghĩa toán học.
Mặt khác, các Toán gia Ca Đình phái cũng có tâm trạng phức tạp. Trên mặt họ lộ ra biểu cảm kỳ dị, xen lẫn hoang mang, phẫn nộ.
Lí niệm "hình thức" bao hàm tính nhất quán, tính đầy đủ, tính khả quyết. Có thể nói là lý tưởng cả đời, mục tiêu theo đuổi lớn nhất của Toán Chủ Hy Bá Triệt.
Mà người phủ định lý tưởng này, chính là Vương Kỳ.
Vương Kỳ dùng chính tư duy của Toán Chủ, phủ định mục tiêu theo đuổi của Toán Chủ, cũng phủ định nỗ lực mấy chục năm của Ca Đình phái.
Nhưng, những tâm trạng phức tạp này không ảnh hưởng đến Vương Kỳ.
Vương Kỳ hiểu, hiện tại hắn đại diện không phải bản thân hắn, mà là "chính xác".
Tự chỉ không phải là một mô tả toán học - nó đúng là thuộc về logic, nhưng có thuộc về toán học hay không thì còn cần thảo luận, không phải tất cả các nhà toán học đều thừa nhận điều này. Dù là Trái Đất hay Thần Châu, đều có dấu hiệu như vậy.
"Trần thuật này không thể chứng minh" không phải là trần thuật toán học theo nghĩa hẹp.
Bước thứ hai trong phương pháp chứng minh của Gödel, chính là chuyển đổi trần thuật phi toán học thành một trần thuật toán học.
Trái Đất gọi đó là - "Gödel số hóa".
— Có lẽ ở Thần Châu, nó sẽ được gọi là "Vương Kỳ số hóa"?
"Người bình thường khi hiểu về tính không đầy đủ này, rất dễ rơi vào màn sương mù tự tham chiếu, khó mà thoát ra. Ta đoán, điều này có lẽ liên quan đến chứng minh đường chéo của Khang tiền bối, số lượng vô hạn mâu thuẫn với trực giác bẩm sinh của chúng ta. Cũng chính vì nguyên nhân này, nên hàng ngàn năm qua, các tiền bối của chúng ta mới không nhìn thấy đạo lý này."
"Mà muốn thoát khỏi màn sương mù này, thì phải sử dụng phương pháp hình thức hóa này."
Hai tay Vương Kỳ tỏa ra kim quang, biến hóa thành từng màn sáng, vô số toán tử bay lượn trên đó, sắp xếp, liệt kê một chứng minh vĩ đại.
Phần thứ hai của chứng minh định lý bất toàn của Gödel, cũng là phần vĩ đại nhất của nó, chính là ở đây.

"Bất kỳ hệ thống tiên đề nào, toán tử được sử dụng, tiên đề có thể tồn tại, đều là hữu hạn. Vì vậy, những tiên đề này, những toán tử này có thể liệt kê ra được, cũng nhất định là đếm được - vô hạn đếm được, Đạo Nguyên số không, số lượng số tự nhiên. Chính là được mô tả như vậy."
"Mà độ dài của những trần thuật khả dĩ này, tất nhiên cũng là đếm được. Mà đã nằm trong phạm trù vô hạn đếm được, chúng ta có thể dùng số tự nhiên để đánh số cho nó. Mỗi một số thứ tự đều là duy nhất."
"Sau đó, chúng ta có thể thiết lập một tập hợp Trung Thiên, tập hợp Trung Thiên này, chính là bao gồm tất cả các số thứ tự của những trần thuật khả dĩ. Trong một hệ thống tiên đề, tất cả các trần thuật khả dĩ đều nằm trong số thứ tự này."
...
Giảng đạo đến đây, đã bắt đầu vượt ra khỏi phạm vi hiểu biết của đại đa số mọi người. Cái gì mà "vô hạn đếm được" cái gì mà "lực lượng" "thứ tự". Những thứ này đều đã vượt quá phạm vi lý giải của họ.
Ngay cả những Tiêu Dao tu sĩ có mặt tại hiện trường nghe Vương Kỳ giảng đạo, cũng có vài người lộ ra vẻ mặt hoang mang.
Mỗi một bước thiếu niên này nói, họ đều có thể hiểu được. Nhưng, những thứ này kết hợp lại với nhau, rốt cuộc có ý nghĩa toán học gì?
Hoàn toàn không hiểu!
Càng nhiều Kim Pháp tu sĩ mượn Vạn Tiên Huyễn Cảnh xem "trực tiếp" này, thì càng thấy đầu óc choáng váng. Chứng minh tưởng chừng đơn giản này dường như chứa đựng ma lực vô hạn, như muốn kéo tư duy của họ xuống vực sâu.
Phùng Lạc Y bất đắc dĩ thở dài, dùng hình thức "phụ đề" để giải thích cho tất cả tu sĩ đang xem trực tiếp.
Quá trình số hóa này, nói trắng ra là "ánh xạ".
Ánh xạ các ký hiệu, biểu thức và chuỗi biểu thức trong hệ thống số học thành số - thông qua việc đưa vào "số Gödel" mà thực hiện thủ tục số hóa đối tượng. Kết quả xử lý như vậy, đối với logic toán và các nhánh liên quan khác, về phương pháp nghiên cứu đã cung cấp một công cụ số hóa, có thể thuận tiện chuyển đổi một số đối tượng thảo luận thành số tự nhiên hoặc hàm số tự nhiên, có thể dùng lý thuyết số tự nhiên để thảo luận các vấn đề liên quan.
Biến đổi một trần thuật toán học thành một trần thuật có ý nghĩa toán học.
Đó chính là ý nghĩa của "số hóa" này.
Mà khi chứng minh này bước vào giai đoạn sau của phần thứ hai, trong trận doanh Ca Đình phái, Ngải Khắc Man khẽ thở dài: "Công thức đệ quy nguyên thủy à..."
Biểu cảm của hắn chứa đựng sự tiếc nuối và hối hận vô cùng.
— Ta cũng đã nghiên cứu lĩnh vực này... Nếu năm đó ta có thể đi sâu hơn một chút, liệu có thể tránh được tai họa hôm nay không?
Có vài tu sĩ Ca Đình phái lập tức gửi tin nhắn riêng: "Ngải huynh, huynh có nghiên cứu về lĩnh vực này? Có thể cản trở Vương Kỳ ở bước này không?"
Ngải Khắc Man cười khổ lắc đầu. Bước này của Vương Kỳ không hề sai. Hắn có thể biến đúng thành sai sao?
Đồng thời, hắn cũng quyết tâm, trở về sẽ nghiên cứu kỹ lưỡng lĩnh vực mà trước đây không được coi trọng này.
Đương nhiên, những người có mặt không biết rằng, chứng minh số hóa này còn có ý nghĩa vượt ra ngoài bản thân nó.

Nó đồng thời cũng là nguồn gốc của lý thuyết đệ quy.
Mà lý thuyết đệ quy chính là một trong những nhánh quan trọng nhất của logic học hiện đại.
Đến lúc này, chứng minh của Vương Kỳ cũng đi đến hồi kết.
Vương Kỳ lần cuối vung hai tay. Toán tử sắp xếp thành chứng minh của định lý bất toàn.
"Đây chính là toàn bộ quá trình."
Cả hội trường im lặng không một tiếng động.
Toán học vào khoảnh khắc này đã bước đến c·ái c·hết.
"Tính nhất quán và tính đầy đủ không thể cùng tồn tại, toán học không mâu thuẫn mà không đầy đủ..." Nhiều đệ tử Vạn Pháp Môn đang xem trực tiếp gần như đã khóc.
Sau khi giảng xong chứng minh của định lý bất toàn, Vương Kỳ liền đến cạnh bục giảng ngồi yên một lát. Giảng đạo hôm nay, được chia thành bốn phần. Phần trước, giảng về định lý bất toàn, phần tiếp theo, giảng về định lý bất khả quyết.
Sau đó, mới là thời gian đặt câu hỏi và tổng kết.
Những Tiêu Dao tu sĩ kia cũng cần một khoảng thời gian để tiếp thu, lý giải những thứ này.
Hắn nhắm mắt dưỡng thần, dường như hoàn toàn không cảm nhận được ác ý mà những đỉnh cấp đại tu xung quanh đang đặt lên hắn.
Cho dù bốn bề đều là kẻ địch thì đã sao? Đây là lĩnh vực của người cầu đạo, chứ không phải nơi đấu pháp. Cho dù ngươi nói gì đi nữa, cũng không thể nào đảo ngược đúng sai.
Sau khi nghỉ ngơi ngắn ngủi, Vương Kỳ lại bước ra giữa bục giảng. Tiếng xì xào bàn tán vừa xuất hiện vì nghỉ ngơi cũng dần dần biến mất. Sự chú ý của vô số tu sĩ đều tập trung vào Vương Kỳ.
Như con rắn độc đang tìm kiếm điểm yếu của con mồi, cố gắng một kích trí mạng.
Vương Kỳ tiếp tục giảng đạo: "Sau khi nói xong bất toàn, chúng ta lại nói về vô phi - cũng chính là định lý bất khả quyết."
"Phần trước của định lý bất khả quyết cũng giống như định lý bất toàn, đều là tự chỉ, ở đây ta sẽ không nói lại nữa. Tiếp theo ta sẽ trực tiếp đi vào phần thứ hai của chứng minh định lý bất khả quyết."
"Trước tiên, ở đây, ta cần phải cảm tạ Đồ Linh chân nhân, cảm tạ sự giúp đỡ của hắn trong vấn đề này, cũng cảm tạ hắn đã cung cấp một phương pháp chứng minh tương đương."
"Đầu tiên, phương pháp chứng minh thứ nhất mà ta muốn giới thiệu, là do ta tự mình đề xuất, là mượn cơ chế của Toán khí Đồ Linh theo nghĩa hẹp... Mà phần thứ hai, Đồ Linh chân nhân gọi là Vạn Pháp Vạn Tượng thức. Nó được xây dựng dựa trên định lý bất toàn, là một thuật toán đầy đủ nhưng không nhất quán."
Đây cũng là phần mà Vương Kỳ và Đồ Linh chân nhân đã bàn bạc.
Toán khí Đồ Linh theo nghĩa hẹp và Vạn Pháp Vạn Tượng thức - cũng chính là máy Turing và phép tính lambda, giống như giai đoạn thứ hai của chứng minh định lý bất toàn, có tiềm năng vượt qua bản thân chứng minh này. Chúng ở đời sau đều phát triển ra những con đường riêng.

Đồ Linh chân nhân cũng rất vui mừng, định lý mà hắn không coi trọng lắm lại có thể được truyền bá. Vương Kỳ cũng cần một số Tiêu Dao tu sĩ bày tỏ sự ủng hộ, để bản thân không quá thế đơn lực bạc, để càng nhiều Toán gia có thể đi theo mình, khai sáng một thế giới mới cho toán học.
Hai người có thể nói là tâm đầu ý hợp.
Quá trình chứng minh định lý bất khả quyết, so với định lý bất toàn, có vẻ dễ xử lý hơn nhiều. Đặc biệt là phần thứ nhất, chứng minh bằng máy Turing. Câu chuyện này, gần như cùng chung nguồn gốc với "Khôi Lỗi Thẩm Quan" mà Vương Kỳ đã kể trước đó, và cả vở kịch ảo "Blade Runner".
Không ít tu sĩ không thuộc Vạn Pháp Môn, đặc biệt là những tiểu môn phái lấy "văn nghệ" "tiểu thuyết gia ngôn" làm pháp tu, đều nghe say sưa. Họ không hiểu lý thuyết của Vương Kỳ, không hiểu ý nghĩa toán học đằng sau lý thuyết của Vương Kỳ. Nhưng, họ có thể hiểu được câu chuyện! Trong đầu họ gần như hiện lên vô số câu chuyện.
Có thể dự đoán, trong một khoảng thời gian sắp tới, "người máy" sẽ trở thành đề tài nóng hổi trong lời kể của những người kể chuyện.
Mà những đệ tử Vạn Pháp Môn chưa sụp đổ, lại tỏ ra hứng thú hơn với phương pháp thứ hai.
Bạc Tiếu Phong cả người đều trong trạng thái mơ màng. "Hệ thống đầy đủ nhưng tự mâu thuẫn"? Thứ này thật sự tồn tại sao? Liệu có ý nghĩa toán học gì trong đó không?
Bài giảng của Vương Kyf bắt đầu từ giờ Ngọ, kết thúc vào giờ Dậu. Khi tiếng chuông giờ Dậu vang lên trên khắp Thần Châu đại địa, buổi giảng đạo này cũng đi đến hồi kết.
"Tóm lại, chúng ta có thể đưa ra chứng minh như vậy..." Vương Kỳ hít sâu một hơi, nói ra hai câu cuối cùng.
"Ta nghĩ, chúng ta có thể tự hào tuyên bố, câu hỏi thứ hai, câu hỏi thứ mười quan trọng nhất trong hai mươi ba câu hỏi của Hy môn, đã được giải quyết trọn vẹn. Chứng minh tính nhất quán, tính đầy đủ, tính khả quyết quan trọng nhất trong nền tảng toán lý, cũng đã hoàn thành."
"Toán học sắp bước vào một kỷ nguyên mới."
Không ai vỗ tay.
Nhưng, tất cả mọi người đều cảm thấy - một sự thay đổi, một cuộc cách tân, có lẽ thật sự sắp đến...
Chú thích các thuật ngữ khoa học:
Chứng minh đường chéo của Cantor (康托尔的对角线证明 - Khang Thác Nhĩ đích đối giác tuyến chứng minh): Một phương pháp chứng minh được Georg Cantor sử dụng để chứng minh rằng tập hợp số thực không đếm được.
Số lượng vô hạn (无穷基数 - vô cùng cơ số): Một khái niệm trong lý thuyết tập hợp, đề cập đến kích thước của các tập hợp vô hạn.
Đạo Nguyên số không (道元数零): Tương đương với Aleph-0 (ℵ₀) lực lượng của tập hợp số tự nhiên.
Vô hạn đếm được (可数无穷 - khả sổ vô cùng): Một tập hợp được coi là vô hạn đếm được nếu nó có cùng lực lượng với tập hợp số tự nhiên.
Số Gödel (哥德尔数): Một phương pháp gán số tự nhiên duy nhất cho mỗi ký hiệu và công thức trong một hệ thống hình thức.
Ánh xạ (映射): Một khái niệm trong toán học, mô tả mối quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp.
Công thức đệ quy nguyên thủy (原始递归式 - nguyên thủy đệ quy thức): Một loại hàm số trong lý thuyết đệ quy, được định nghĩa bằng cách sử dụng đệ quy.
Lý thuyết đệ quy (递归论 - đệ quy luận): Một nhánh của logic toán học nghiên cứu các hàm số đệ quy và khả năng tính toán của chúng.
Máy Turing (图灵机 - Đồ Linh cơ): Một mô hình toán học của một máy tính lý tưởng, có thể thực hiện bất kỳ phép tính nào mà một thuật toán có thể thực hiện.
Phép tính lambda (λ算法 - lambda toán pháp): Một hệ thống hình thức dùng để định nghĩa hàm số và áp dụng hàm số.